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Abweichung nach Netzausgleichung (Software)

Micha ⌂, Bad Vilbel, Samstag, 16.01.2016, 13:54 (vor 826 Tagen) @ Ferdinand Schwenkglenks

Hallo Ferdinand,

wie kommst Du voran mit Deiner Abschlußarbeit?

ich glaube ich brauche nochmals deine Hilfe.

Kein Problem, dafür ist das Forum gedacht.

Ω - Gewichtetes Verbesserungsquadrat:
Eine Bobachtung (z.B. Vertikalwinkel zw. zwei Punkten) kann durch die Netzmessung aufgrund der hohen Redundanz auf viele verschiedene "Wege" berechnet werden.

Nein, eigentlich nicht. Du hast für diese konkrete Beobachtung eine Verbesserung, da

v = Ax-l

Folglich kannst Du mit einer Hilfsmatrix E eine konkrete Verbesserung heraussegmentieren:

v_i = E^Tv

wobei E=\begin{bmatrix}0&0&\dots&0&1&0&\dots&0\end{bmatrix}^T und i der Index der gewünschten Beobachtung ist bspw. ein konkreter Zenitwinkel. Damit kannst Du auch die entsprechende Verbesserungsquadratsumme ermitteln.

\Omega_i = v^TE E^TPv

Diese Berechnung vereinfacht sich noch, wenn es sich um unkorrelierte Beobachtungen handelt.

Testgröße: [...] Ich kann mir leider garnichts darunter vorstellen, wie die gebildet wird. Also nicht im Sinne einer mathematischen Formel sondern mehr zum Verstehen wie ich das gerade bei Ω versucht habe zu schreiben.

Unter einem allg. Hypothesentest kannst Du Dir aber etwas vorstellen, oder? Wenn Du prüfen möchtest, ob ein gemessener Abstand s signifikant von einer Soll-Länge µ abweicht, dann benötigst Du neben s und µ noch die Genauigkeit Deiner Messung. Du bildest die Differenz zwischen s und µ und bewertest diese Abweichung in Hinblick auf die erreichbare Genauigkeit. Eine Überschlagsformel ist bspw. die 3-Sigma-Regel: Weicht die Differenz um mehr als das dreifache Deiner Messgenauigkeit ab: |s-µ| > 3σ, dann ist die Abweichung signifikant. Statt der 3 nutzt JAG3D ein Quantil, wodurch sich - in Abhängigkeit Deines α - ein anderer Vertrauensbereich ergibt.

Bei der Prüfung auf Modellstörung (Testgröße) passiert nun formal dasselbe. JAG3D bestimmt ein Maß für diese Modellstörung und bestimmt die zugehörige Genauigkeit. Ausgehend davon, dass keine Modellstörung vorliegt, erwarten wir ∇ = 0, womit wir unsere Nullhypothese H0 haben und prüfen können. Keine Modellstörung liegt demnach vor, wenn ∇ = 0 ist (oder so klein, dass wir die Größe als zufällig betrachten können).

Der Wert für wird Dir in JAG3D ausgegeben. Die zugehörige Kovarianzmatrix hingegen nicht. Wenn kein Vektor sondern nur ein Skalar ist und es sich um unkorrelierte Beobachtungen handelt, dann vereinfachen sich die Berechnungen noch einmal, da dies ein Sonderfall ist.

Ich weiss nur, dass T ungefähr 1 sein sollte und je höher desto schlechter ...

Das stimmt nicht ganz bzw. würde nur für den Vergleich zweier Varianzen gelten (bspw. beim Globaltest), denn

T = \frac{\mathbf{\nabla_i^TQ_{\nabla\nabla,i}^{-1}\nabla_i}} {m\sigma^2}

wenn demnach ein Nullvektor ist, dann würde der Zähler auch Null sein und folglich T=0. Wenn demnach keine Modellstörung vorliegt, dann müsste T=0 gelten. T < 0 ist ausgeschlossen, da es sich um eine quadratische Größe handelt. T wird folglich groß, wenn

Vor allem im Zusammenhang mit a priori und a posteriori.

Da wir die Differenz nur in Hinblick auf die Genauigkeit bewerten können, spielt diese eine wichtige Rolle. Bleiben wir bei unserem Beispiel von oben mit der Strecke s. Ist eine Differenz von δs=s-µ=1cm viel oder wenig? Wenn wir die Strecke s einfach zu Fuß abgeschritten hätten, wäre das vermutlich ein super Ergebnis. Wenn diese Strecke s aber mit einem Interferometer bestimmt worden wäre, erscheint die Abweichung δs recht hoch. Wir kommen zu dieser Schlußfolgerung, weil wir eine Vorstellung haben, wie genau diese beiden Messverfahren sind. Folglich bewerten wir diese Abweichung auch in Relation zur erzielbaren Genauigkeit.

Wenn Du a-priori in JAG3D einstellst, dass Deine Strecken eine Genauigkeit von 0.1µm haben, dann sind alle Strecken, die bspw. größer als 1µm sind signifikant abweichend und würden Dir als grober Fehler angezeigt werden. Dass kannst Du gern mal ausprobieren, in dem Du mit den a-priori Unsicherheiten mal spielst.

Deine Messung kann man auch als eine Stichprobe eines Zufallsexperimentes auffassen. Aus den Wiederholungen (der Überbestimmung) lässt sich folglich auch eine a-posteriori Unsicherheit schätzen. Ist Deine Stichprobe groß (viel Überbestimmung), erhältst Du eine zuverlässige Schätzung für die a-posteriori Genauigkeit und kannst auch diese zur Formulierung der Teststatistik verwenden.

a priori ist die angenommene Genauigkeit, [...] und a posteriori ist die Genauigkeit, die letztendlich nach der Ausgleichung herauskommt. korrekt?

Korrekt, ja.

Konfidenzellipse (die Ellipsen in der grafischen Netzansicht):

In der Graphik sind keine Konfidenzellipsen, da sie nicht skaliert wurden. In den Ergebnistabellen sind aber die Konfidenzbereiche ausgewiesen. Die Ellipse würde aber identisch aussehen, da es sich nur um eine Skalierung handelt. Insofern hätten sie im Plot keinen Mehrwert.

Wahrscheinlichkeit von 90%, dass der Punkt sich innerhalb dieser Ellipse befindet?

Die Prozentzahl hängt grundsätzlich von Deinen Einstellungen ab (in JAG3D von α). Nehmen wir an, Du hast α=10%, dann bedeutet das nicht, dass der wahre Wert Deines Punktes sich mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit in diesem Intervall befindet. Der wahre Wert ist entweder enthalten oder nicht. Die 90% sagen nur, dass der wahre Wert sich in 90% aller so berechneten Konfidenzbereiche befindet. Das wird leider von vielen falsch wiedergegeben - nicht nur in der Geodäsie. Siehe hierzu auch den Eintrag bei Wikipedia und den dortigen Querverweisen.

Ich hoffe du kannst mir helfen ...

Sag Du es mir. ;-)


Weiterhin viel Erfolg und schönes Wochenende
Micha

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Tags:
Netzausgleichung, JAG3D, Modellstörung, Konfidenzbereich, Genauigkeit, Hypothesentest, Teststatistik


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